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Source : site Web de Laurent Nottale - 2000

adapté du paragraphe 9 de l'article de revue :
Nottale, L., 1996, Chaos, Solitons and Fractals, 7, 877-938
"Scale Relativity and Fractal Space-Time: Application to Quantum Physics, Cosmology and Chaotic systems".

Ces pages de résultats datent de 1996 (article de revue CSF) ou éventuellement de 1998 (site Web de Laurent Nottale) et elles ne sont donc pas à jour (incomplètes donc, sans doute).

En conclusion de cette revue, nous allons pouvoir accomplir un des buts de la présente contribution, qui était de donner un résumé des divers résultats et prédictions théoriques de la nouvelle théorie. Puisque les conséquences de la relativité d'échelle couvrent un large éventail de domaines physiques, ces résultats et prédictions étaient jusqu'à maintenant dispersés dans différents articles écrits pour des communautés différentes. Cet article de revue est une bonne occasion de les rassembler (d'une manière non totalement exhaustive, car certains résultats obtenus récemment sont encore en préparation), et donc de procurer au lecteur une vision plus large des possibilités de la théorie.

Remarquons tout d'abord que les divers résultats d'une théorie peuvent être classés en différents "niveaux":

(i) Il y a les résultats "conceptuels", c'est à dire les contributions d'une théorie à la compréhension de faits généraux précédemment malcompris ou à la résolution de problèmes généraux (par exemple, dans notre cas: compréhension de l'origine de la nature complexe de la fonction d'onde ; reconciliation de la physique quantique avec l'approche relativiste).

(ii) Il y a les résultats numériques, quantitatifs, c.-à.-d. les prédictions théoriques de quantités déjà mesurées qui n'avaient pas encore d'explication théorique (par exemple, prédiction de l'échelle de grande unification et de l'échelle électrofaible en physique des particules; prédiction de la valeur de l'exposant de la fonction de corrélation galaxie-galaxie en cosmologie).

(iii) Il y a finalement les prédictions théoriques pures, soit de nouveaux phénomènes non encore observés, soit de la valeur encore inconnue de quantités mesurables. Ces prédictions "en aveugle" jouent un rôle particulierdans la vérification d'une théorie, puisqu'elles sont la clé de sa "falsifiabilité" (par exemple, notre prédiction de distances préférentielles pour les nouvelles planètes dans les systèmes extra-solaires récemment découverts, de la valeur de la constante cosmologique, ou de déviations par rapport à la mécanique quantique standard aux hautes énergies >>100 GeV).

Notons que certains résultats peuvent tomber dans deux ou trois de ces catégories, car une prédiction théorique numérique peut être en accord avec un résultat expérimental déjà mesuré, mais rester plus précise. La prédiction en aveugle est alors,dans ce cas, seulement sur les décimales supplémentaires inconnues (exemple: prédiction de la constante de couplage de l'interaction forte à basse énergie, ou du rapport de masse m_z/m_w). Certains progrès conceptuels peuvent aussi avoir une contrepartie numérique (exemple: la solution du problème de la densité d'énergie du vide qui permet aussi d'obtenir une estimation de la constant cosmologique).

Passons en revue ces diverses sortes de conséquences dans le présent cas de la théorie de la relativité d'échelle.

Résultats conceptuels

• Nature complexe de la fonction d'onde : conséquence de la non-différentiabilité de l'espace-temps, qui implique une brisure de la réversibilité temporelle au niveau de la description élémentaire, donc un dédoublement de la dérivée par rapport au temps, dont l'utilisation de nombres complexes constitue la représentation la plus simple. La réversibilité temporelle est retrouvée en termes du processus complexe global qui combine les dérivées "prograde" et "rétrograde". La fonction d'onde est l'exponentielle de l'action complexe.
  
  
• Nature probabiliste de la théorie quantique : conséquence de la non-différentiabilité et de la nature fractale de l'espace-temps, qui implique l'existence d'une infinité de géodésiques entre tout couple d'événements.
  
  
• Principe de correspondence : devient une égalité, grâce a fait que l'impulsion et l'énergie sont eux-mêmes devenus complexes.
  
  
• Équations de Schrödinger, Klein-Gordon : démontrées en tant qu'équations des géodésiques d'un espace-temps non-différentiable fractal. Les termes quantiques sont obtenus par l'action de la dérivée covariante-d'échelle, et trouvent leur origine dans un mélange entre l'effet de la représentation complexe (conséquence de la non-différentiabilité) et de nouveaux termes de second ordre dans les équations différentielles (conséquence de la dimension fractale 2 des géodésiques).
  
  
• Transition Quantique/ Classique : inhérente à la description (puisqu'inclue dans la solution de notre équation différentielle d'échelle la plus simple), identifiée à la transition du comportement fractal (dépendance d'échelle) au nonfractal (indépendance d'échelle).
  
  
• Divergence des masses et des charges : résolue par la nouvelle relation échelle de longueur / échelle de masse en relativité d'échelle restreinte ; la solution est liée à la nouvelle signification physique de l'échelle de longueur de Planck.
  
  
• Nature de l'échelle de Planck : devient une échelle minimale, indépassable, invariante sous les dilatations, qui joue pour les lois d'échelle le même rôle que celui joué par la vitesse de la lumière pour les lois du mouvement et remplace le point zéro en ce qui concerne son comportement physique.
  
  
• Nature et quantification de la charge électrique : la charge est comprise comme une quantité conservative qui provient de la nouvelle symétrie d'échelle. Sa quantification est une conséquence de la limitation sur les rapports de résolutions impliquée par la nature invariante nouvelle de l'échelle de Planck.
  
  
• Origine de la discrétisation de la masse des particules élémentaires : nous avons suggéré que les masses des fermions élémentaires étaient d'origine essentiellement électrodynamique, et que leur discrétisation était une conséquence du fait que la charge est quantifiée.
  
  
• Nature de la constante cosmologique: inverse du carré d'une échelle de longueur maximale, indépassable L, invariante sous les dilatations (qui prennent une nouvelle forme "lorentzienne"); remplace l'échelle infinie mais garde toutes ses propriétés physiques.
  
  
• Problème de la densité d'énergie du vide : la densité d'énergie est explicitement dépendante d'échelle, de sorte que la densité d'énergie de Planck ne s'applique pas aux échelles cosmologiques. La densité d'énergie est calculée comme densité d'auto-énergie gravitationnelle des fluctuations du vide. On trouve qu'elle varie en fonction de la résolution comme r^-6. Par conséquent la densité d'énergie quantique et la densité d'énergie cosmologique (qui se manifeste par l'existence d'une constante cosmologique non nulle) deviennent compatibles.
  
  
• Coïncidence des grands nombres : expliquée à partir du calcul précédent de la densité d'auto-énergie et à partir de l'introduction de l'échelle de longueur maximale invariante L.
  
  
• Problèmes de la théorie du Big-Bang : beaucoup des problèmes rencontrés par la théorie standard du Big-Bang sont automatiquement résolus dans le nouveau cadre. Le problème de causalité et d'horizon disparait dès lors que les lois de dilatation prennent une forme lorentzienne; il n'y a aucun besoin d'une phase d'inflation, donc aucun besoin d'introduire un champ scalaire arbitraire pour la déclencher; l'âge de l'univers devient compatible avec celui des amas globulaires grâce à l'introduction d'une constante cosmologique positive L = 1/L²; le problème de l'origine des fluctuations de densité et de la formation et de l'évolution des structures dans l'univers trouve une solution nouvelle dans le cadre de la théorie gravitationnelle quasi-quantique qui semble s'imposer à grande échelle. On prédit l'apparition de structures même pour une densité strictement uniforme, sans nécessité de fluctuations "initiales".

Résultats Quantitatifs

• Échelle de grande unification : devient en relativité d'échelle restreinte l'échelle de masse de Planck (qui maintenant diffère de l'échelle de longueur de Planck); donnée par log(l_z/l_GUT) = log(l_z/L_P) / 2^1/2 ~17 / 2^1/2 ~12. Cette échelle de longueur est 10¹² fois plus petite que l'échelle du boson Z : elle correspond à une échelle d'énergie de 10¹⁴ GeV dans le modèle standard non relativiste d'échelle, mais à 10¹⁹ GeV en relativité d'échelle restreinte

• Relations masse-charge : notre interprétation des charges (c.-à-d. des constantes de couplages des interactions fondamentales) comme valeurs propres de l'opérateur de dilatation agissant sur les résolutions (autrement dit, comme quantités conservatives provenant des symétries d'échelle), de l'invariance de jauge comme invariance d'échelle sur les transformations de résolution, et de la fonction de jauge "arbitraire" comme "état d'échelle relatif" lnr(x,y,z,t) maintenant dépendant des coordonnées, conduit en relativité d'échelle restreinte à des relations masse-charge générales de la forme a ln(l_c/L_P) = k/2, où k est entier, a est une constante de couplage, l_c une échelle de Compton h/mc, inversement reliée à une masse m, et L_P est l'échelle de longueur de Planck.
  
  
• Échelle électrofaible : donnée par la relation masse / charge a_0oo ln(l_EW/L_P) = 1, c.-à.-d., l_EW = L_P e^4p2 =1.397 x 10¹⁷ L_P ~123 GeV (alors que la valeur attendue pour la valeur moyenne sur le vide du champ de Higgs est 174 GeV= 123 x 2^1/2 GeV).
  
  
• Échelle de masse de l'électron : donnée par la relation masse / charge prédite par notre réinterprétation de l'invariance de jauge dans le cadre de la relativité d'échelle restreinte:a_0e ln(l_e/L_P) = 1, c.-à.-d., m_e = m_P exp(-3/8a_e) = 1.22 x 10¹⁹ GeV x e^-51.4 ~0.5 MeV.
  
  
• Rapport de masse des bosons faibles (valeur de l'angle de mélange faible) : des arguments liés aux nouvelles relations masse-charge suggèrent que a₂ = 2 a₁ à l'échelle électrofaible, de sorte que m_W / m_Z = (10/13)^1/2, et sin²q = 3/13 à cette échelle.
  
  
• Spectre de masse et de charge des fermions élementaires : obtenu par un effet de compensation entre "corrections" de relativité d'échelle restreinte et corrections radiatives. (Toutefois, excepté en ce qui concerne la masse du muon, il s'agit là seulement d'un modèle, pas d'une théorie totalement contrainte, car il reste un paramètre libre inconnu dans ce mécanisme de génération).
  
  
• Masse du quark Top : le mécanisme ci-dessus la prédit juste supérieure à la masse des W/Z, à 150 ± 50 GeV (valeur expérimentale: 174 ± 17 GeV).
  
  
• Valeurs des constantes de couplage à basse énergie : déduites des charges nues (qui sont finies en relativité d'échelle) et des équations du groupe de renormalisation pour ces couplages. En se fondant sur la conjecture (justifiable) que la valeur 1/4p² est critique pour les constantes de couplage, on trouve a_e = 137.00 ± 0.10 à partir du couplage nu a_0oo = 1/4p², et a₃(m_Z) = 0.1155 ± 0.0002 à partir de a₃(m_GUT) = 1/4p².
  
  
• Puissance de la fonction de corrélation galaxie-galaxie : la valeur observée g =1.8 à ~1-10 Mpc est expliquée comme effet d'une correction relativiste-d'échelle à la valeur standard g = 2.
  
  
• Structuration du Système Solaire : la distribution observée de masse, de moment angulaire, les excentricités et les positions des planètes dans le Système Solaire sont expliquées par les solutions de notre équation "quanto-gravitationnelle" pour un potentiel keplerien, (valable aux très grandes échelles temporelles, au-delà de l'horizon de prédictibilité).
  
  
• Quantification des paires de galaxies : la quantification en termes de 144/n km/s observée par Tifft et d'autres auteurs pour les différences de vitesses radiales entre les galaxies d'une paire est aussi prédite par la même approche (potentiel de Kepler).
  
  
• Quantification globale des redshifts des galaxies : quand elle est appliquée à une densité uniforme, cette méthode prédit une quantification suivant les modes de l'oscillateur harmonique 3-dimensionnel isotrope qui rend compte de la quantification des redshifts "globaux" à 36 km/s (Tifft, Guthrie et Napier).

Nouvelles prédictions

• Valeur précise de la constante de couplage fort : nous prédisons, comme cité plus haut, a₃(m_Z) = 0.1155 ± 0.0002, plus précis que la valeur expérimentale courante, 0.121 ± 0.007.
  
  
• Valeur précise du rapport de masse des bosons faibles : nous prédisons sa valeur exacte m_W /m_Z = (10/13)^1/2 (à de petites corrections radiatives près), alors que la masse du W est actuellement très mal connue (80.2 ± 0.2 GeV).
  
  
• Déviations de la mécanique quantique standard à haute énergie : les "corrections" relativiste-d'échelle vont rapidement augmenter pour des énergies plus grandes que ~100 GeV, car elles ne seront plus annulées par l'apparition de nouveaux fermions élémentaires chargés, comme cela se passe dans le domaine 0.5 MeV (énergie de l'électron) à 174 GeV (énergie du top). A condition qu'aucune annulation d'origine électrofaible n'ait lieu au dessus de ~100 GeV, nous nous attendons à ce que les résultats expérimentaux des collisions de particules dans les accélérateurs de haute énergie futurs (LHC...) s'écartent de leurs valeurs calculées à partir de la mécanique quantique standard (c.-à.-d., à partir de lois relativistes-d'échelle galiléennes). L'écart peut être exprimé, au premier ordre, en termes d'un rapport constante de Planck effective / masse variant avec l'échelle.
  
  
• Valeur de la constante cosmologique : on prédit L = 1.36 10^-56 cm^-2, à partir de la conjecture que la transition fractal-nonfractal pour la densité d'énergie du vide ait lieu à l'échelle de 70 MeV, qui est celle du rayon classique de l'électron (ainsi que l'échelle de QCD pour 6 saveurs): cette valeur pourrait résulter de la transition quark-hadron dans l'univers primordial.
  
  
• Nouveaux corps dans le système solaire : certaines des "orbitales" prédites par la théorie ne contiennent pas de planètes observées (Mercure correspond à n=3 dans le système interne), mais pourraient contenir des objets ou des matériaux qui ont jusqu'à maintenant échappé à la détection: poussières sur l'orbite n = 1 du système interne à Å0.05 UA (un petit corps serait évaporé car trop proche du Soleil); n = 7 et 10 , bien que détruites par des résonances avec Jupiter contiennent des familles d'astéroïdes; petits corps sur n = 2 du système interne, à Å0.18 UA, sur n > 6 du système externe (ceinture de Kuiper).
  
  
• Structure universelle des systèmes planétaires extra-solaires : nous prédisons que les systèmes planétaires qui ont toutes chances d'être découverts dans un futur proche autour d'autres étoiles seront décrits par les mêmes orbitales que dans notre propre système solaire. En particulier, on s'attend à la découverte de planètes situées à 0.05 UA (n=1) et 0.18 UA (n=2) autour d'étoiles de type solaire (Cette prédiction est maintenant confirmée).
  
  
• Structures de position et de vitesse des étoiles et des associations stellaires dans notre Galaxie : on prédit que la distribution en vitesse et en position des étoiles dans la Galaxie ne sera pas aléatoire, mais plutôt "quantifiée" selon notre équation "Schrödinger-gravitationnelle" générale. Cela s'applique en particulier aux systèmes d'étoiles multiples, aux associations et aux zones de formation d'étoiles, etc... Les morphologies prédites incluent des objets simples, doubles, mais aussi des structures en chaîne et en trapèze, typiques de telles zones.
  
  
• Structuration de l'univers : de manière similaire, la présente théorie prédit la formation de structures dans l'univers à toutes les époques selon le groupe SU(3), qui est le groupe de symétrie de l'oscillateur harmonique 3-dimensionnel. C'est un exemple de connexion (structurelle) microscopique-macroscopique, SU(3) étant le groupe de symétrie de la QCD.
  
  
• Valeur de l'exposant de la fonction de corrélation des galaxies à très grande échelle : en relativité d'échelle restreinte, l'exposant de la fonction de corrélation galaxie-galaxie n'est plus constant, mais varie avec l'échelle. Alors que sa valeur est ~ 1.8 à une échelle de ~10 Mpc, nous prédisons qu'elle tombera à ~1.5 à 100 Mpc, puis décroîtra encore à plus grande échelle. Une détermination précise de sa variation avec la résolution donnerait une mesure précise de la constante cosmologique. Cette prédiction est maintenant confirmée: plusieurs groupes ont trouvé que la puissance est effectivement plus petite à grande échelle (c.-à.-d., que la dimension fractale D=3-g est plus grande et devient égale à 2 en moyenne à des échelles de plusieurs centaines de Mpc).